Question

已知等比数列{a_n}的公比为q，S_n是{a_n}的前n项和．
（1）若a₁=1，q＞1，求

lim

n→∞

an

Sn

的值；
（2）若a₁=1；对①q=

1

2

和②q=-

1

2

时，分别研究S_n的最值，并说明理由；
（3）若首项a₁=10，设q=

1

t

，t是正整数，t满足不等式|t-63|＜62，且对于任意正整数n有9＜S_n＜12成立，问：这样的数列{a_n}有几个？

Answer 1

（1）Sn=

(1-qn)

1-q

，则

lim

n→∞

an

Sn

=

lim

n→∞

qn-1

(1-qn) 1-q

=

lim

n→∞

1 q •qn-qn

1-qn

=

lim

n→∞

1 q -1

( 1 q )n-1

=

q-1

q

----（5分）
（2）当q=

1

2

时，Sn=2-(

1

2

)n-1，所以S_n随n的增大而增大，而S₁≤S_n＜2，
此时S_n有最小值为1，但无最大值．-------------------------------（3分）
（只给出答案而不能够说明理由的，得1分）
当q=-

1

2

时，Sn=

2

3

[1-(-

1

2

)n]
若n=2k，k∈N^*时，Sn=

2

3

[1-(

1

4

)k]，所以S_n随k的增大而增大，
即n是偶数时，S2≤Sn＜

2

3

，即

1

2

≤Sn＜

2

3

若n=2k-1，k∈N^*时，Sn=

2

3

[1+2(

1

4

)k]，所以S_n随k的增大而减小，
即n是奇数时，

2

3

＜Sn≤S1，即

2

3

＜Sn≤1
所以

1

2

≤Sn≤1，S_n有最大值为1，最小值为

1

2

．---（4分）
（只给出答案而不能够说明理由的，得1分）
（3）|t-63|＜62?-62＜t-63＜62?1＜t＜125?q=

1

t

∈(0，1)．
Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

10[1-( 1 t )n]

1- 1 t

且S_n随着n的增大而增大

lim

n→∞

Sn≤12?

10

1- 1 t

≤12-----------------------（3分）?

5

6

≤1-

1

t

?

1

t

≤

1

6

?t≥6?t∈[6，125)-----------------------------（2分）
t∈N^*?124-6+1=119个．----------------------------------------（1分）