题目内容

下列4个命题：
①已知 $数学公式$ 是单位向量，| $数学公式$ + $数学公式$ |=| $数学公式$ -2 $数学公式$ |，则 $数学公式$ 在 $数学公式$ 方向上的投影为 $数学公式$ ；
②关于x的不等式a $数学公式$ 恒成立，则a的取值范围是a $数学公式$ ；
③函数f（x）=alog₂|x|+x+b为奇函数的充要条件是a+b=0；
④将函数y=sin（2x+ $数学公式$ ）图象向右平移 $数学公式$ 个单位，得到函数y=sin2x的图象
其中正确的命题序号是________（填出所有正确命题的序号）．

①
分析：化简①由已知化简可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，而要求的等于| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞，代入化简，即可判断正误．②不等式恒成立转化成函数的最值进行判断出；③通过举反例对③进行判断；④利用函数图象的平移判断正误即可；
解答：对于①，∵| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ |，∴（| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |）²=（| $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ |）²，
展开化简可得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影等于| $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以①正确．
对于②∵0≤sin²x≤1，令sin²x=t，
∴ $\text{[math]}$ =t+ $\text{[math]}$ ，则令f（t）=t+ $\text{[math]}$ ，t∈[0，1]，
根据其图象可知，当x＞ $\text{[math]}$ 时，f（t）为递增的，当0＜x≤ $\text{[math]}$ 时，f（t）为递减的，
∵t∈[0，1]，∴f（t）≥f（1）=1+2=3，∴ $\text{[math]}$ ≥3
∵a＜ $\text{[math]}$ 恒成立时，只要a小于 $\text{[math]}$ 的最小值即可，所以a＜3，所以②不正确．
对于③当a=1，b=-1时，虽然有a+b=0，但f（x）不是奇函数，故③错，
对于④将函数y=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到函数y=sin（2x- $\text{[math]}$ ）的图象，所以④不正确．
正确只有①．
故答案为：①．
点评：本题考查向量的投影，转化为向量的数量积和模长来运算是解决问题的关键，不等式恒成立问题，考查的知识点比较多，属基础题．