题目内容

已知函数 $数学公式$
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f（a）=4，求a的值；
（Ⅲ）判断并证明该函数的单调性．

解：（Ⅰ）对于函数 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，
解可得x＜-5或x＞5．
所以f（x）的定义域为（-∞，-5）∪（5，+∞）；
（Ⅱ）f（a）=log₂ $\text{[math]}$ =4，
即 $\text{[math]}$ =16，
解可得，a=- $\text{[math]}$ ；
（Ⅲ）f（x）在（5，+∞）和（-∞，-5）上是单调递增的．
证明：由（Ⅰ）可得，函数的定义域为（-∞，-5）∪（5，+∞），关于原点对称；
又有 $\text{[math]}$
则f（x）为奇函数，
任取x₁，x₂∈（5，+∞），且x₁＜x₂，则△x=x₂-x₁＞0，
f（x₂）-f（x₁）=log₂ $\text{[math]}$ -log₂ $\text{[math]}$ =log₂（ $\text{[math]}$ ÷ $\text{[math]}$ ）=log₂ $\text{[math]}$ ；
∵△x=x₂-x₁＞0，∴x₁x₂-25+5△x＞x₁x₂-25-5△x
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
即f（x₂）-f（x₁）＞0
由此证得f（x）在（5，+∞）上是单调递增的，
又∵f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，-5）上也是单调递增的．
∴f（x）在（5，+∞）和（-∞，-5）上是单调递增的．
分析：（Ⅰ）对于函数 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，解可得答案；
（Ⅱ）根据题意，有f（a）=log₂ $\text{[math]}$ =4，变形可得 $\text{[math]}$ =16，解可得答案；
（Ⅲ）首先分析函数的奇偶性，可得f（x）为奇函数，任取x₁，x₂∈（5，+∞），且x₁＜x₂，则△x=x₂-x₁＞0，用作差法证明可得f（x）在（5，+∞）上是单调递增的，结合函数的奇偶性可得f（x）在（-∞，-5）上也是单调递增的，综合可得答案．
点评：本题考查综合考查函数的奇偶性与单调性，解（Ⅲ）时，由于所求函数的定义域不连续，要先分析证明一半定义域中的单调性，再利用函数的奇偶性的性质，分析剩余区间的单调性，进而综合考虑可得整体的单调性．