Question

（Ⅰ）已知

m

，

n

是空间的两个单位向量，它们的夹角为60°，设向量

p

=2

m

+

n

，

q

=-3

m

+2

n

．求向量

p

与

q

的夹角；
（Ⅱ）已知

u

，

v

是两个不共线的向量，

a

=

u

+

v

，

b

=3

u

-2

v

，

c

=2

u

+3

v

．求证：

a

，

b

，

.

c

共面．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的夹角公式cos＜

p

，

q

＞=

p • q

| p || q |

可求夹角余弦，进而可求夹角
（Ⅱ）要证明

a

，

b

，

.

c

共面，只要证明存在实数x，y，使得

c

=x

a

+y

b

即可

解答：解：（Ⅰ）∵

m

，

n

是两个单位向量，所以|

m

|=|

n

|=1，由于其夹角为60°
所以向量

m

•

n

=cos60°=

1

2

  
∴

p

•

q

=（2

m

+

n

）•(-3

m

+2

n

）=-6

m

2+

m

•

n

+2

n

2=-4+

1

2

=-

7

2

|

p

|=

(2 m + n )2

=

4 m 2+4 m • n + n 2

=

7

同理|

q

|=

7

，
所以cos＜

p

，

q

＞=

p • q

| p || q |

=

- 7 2

7 • 7

=-

1

2

  
所以夹角120°       …7分
（Ⅱ） 证明：因为向量

u

，

v

是两个不共线的向量
设

c

=x

a

+y

b

=x（

u

+

v

）+y（3

u

-2

v

）=（x+3y）

u

+（x-2y）

v

=2

u

+3

v

所以

x+3y=2 x-2y=3

⇒

x= 13 5 y=- 1 5

，
这表明存在实数x=

13

5

，y=-

1

5

，使

c

=

13

5

a

-

1

5

b

根据共面向量定理知：向量

a

，

b

，

c

共面  …14分．

点评：本题主要考查了向量的数量积的定义及运算性质的应用，向量共线定理的应用是求解本题（II）的关键