Question

已知函数f（x）=ln （ax+1）+，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（x）=ln （ax+1）+ =ln（ax+1）+ ﹣1，
求导函数可得f′（x）= ，
∵f（x）在x=1处取得极值，
∴f'（1）=0，∴ =0
∴a=1；
（2）设f′（x）= ＞0，有ax²＞2﹣a，
若a≥2，则f'（x）＞0恒成立，f（x）在[0，+∞）上递增，
∴f（x）的最小值为f（0）=1；
若0＜a＜2，则x＞ ，f'（x）＞0恒成立，
f（x）在（ ，+∞）上递增，在（﹣∞， ）上递减，
∴f（x）在x= 处取得最小值f（ ）＜f（0）=1．
综上知，若f（x）最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．