Question

已知{a_n}为等差数列，{b_n}为各项均是正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₂+a₄=b₃，b₂b₄=a₃
求：（Ⅰ）数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n、b_n；
（Ⅱ）数列{8a_nb²_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知条件可得：2a₃=b₃，b₃²=a₃，即2b₃²=b₃，由题意可求得b3=

1

2

，公比q=

2

2

，b_n可求；
     由2a3=

1

2

，a1=1，可求得an．
 （Ⅱ）由(Ⅰ)得an=

11

8

-

3

8

n，bn=2

1-n

2

，8a_nb_n²=（11-3n）•2^1-n，这是一个由等差数列与等比数列的乘积项构成的数列，这样的数列求和可用错位相见法解决．

解答：解：（Ⅰ） 设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q（q＞0），得2a₃=a₂+a₄，b₃²=b₂•b₄，
      又a₂+a₄=b₃，b₂•b₄=a₃，
∴2b₃²=b₃
∵b_n＞0∴b3=

1

2

由　b3=1•q2=

1

2

得q=

2

2

（2分）
由2a3=

1

2

，a₁=1得：d=-

3

8

（4分）
∴an=

11

8

-

3

8

n，bn=2

1-n

2

（n∈N₊）　　　（6分）
（Ⅱ）设cn=8an，dn=bn2显然数列{cn}是以8为首项，公差为-3的等差数列，数列{dn}是以1为首项，公比为

1

2

的等比数列，s_n=c₁d₁+c₂d₂+…+c_nd_n①等式两边同乘以

1

2

，
得

1

2

Sn=c1d2+c2d3+…+cn-1dn+cndn+1②
由①-②得

1

2

Sn=c1d1-3d2-3d3-…-3dn-cndn+1
=8-3•

1 2 (1-( 1 2 )n-1)

1- 1 2

-(11-3n)•2-n
=5+

3n-5

2n

因此　 Sn=10+

3n-5

2n-1

（n∈N₊）　　　（9分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式，错位相见法求和，解决问题的关键是解方程，求对两个数列的通项公式．