Question

【题目】已知为抛物线：的焦点，过的动直线交抛物线于，两点．当直线与轴垂直时，．

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线，，的斜率成等差数列，求点的坐标．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由题意可得，即可求出抛物线的方程，（2）设直线的方程为，联立消去，得，根据韦达定理结合直线，，的斜率成等差数列，即可求出点的坐标.

解：（1）因为，在抛物线方程中，令，可得．

于是当直线与轴垂直时，，解得．

所以抛物线的方程为．

（2）因为抛物线的准线方程为，所以．

设直线的方程为，

联立消去，得．

设，，则，.

若点满足条件，则，

即，

因为点，，均在抛物线上，所以，，．

代入化简可得，

将，代入，解得．

将代入抛物线方程，可得．

于是点为满足题意的点．