Question

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₂=2，a₈为a₄和a₁₆的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设．

Answer 1

【答案】分析：（1）设{a_n}的公差为d，由a₂=2，a₈为a₄和a₁₆的等比中项解得，由此能求出a_n．
（2）法一：由，知，故，由裂项求和法能得到结果．
（法二）用数学归纳法进行证明．①当，成立；②假设n=k时，b₁+b₂+…+b_k+1＜，由此得到，当n=k+1时，不等式成立，由①②可得原不等成立．
解答：（1）解：设{a_n}的公差为d，
由题意得…（2分）
解得=1+（n-1）×1=n…（4分）
（2）证明：（法一）
∵，
∴，
∴，
即…9（分）
∴
=1-…（12分）
（法二）
①当，显然成立 …（5分）
②假设n=k时，b₁+b₂+…+b_k+1
＜…（7分）

=
=
=
∴
∴
即当n=k+1时，不等式成立，由①②可得原不等成立．…（12分）
点评：本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法和灵活运用，注意不等式和数列性质的综合运用，注意数学归纳法的解题步骤．