Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=（n²+n） 2ⁿ，则数列{}的前n项和T_n=

1. A.
   （n-1）2ⁿ-2
2. B.
   （n+2）2ⁿ-1
3. C.
   （n+2）2ⁿ-2
4. D.
   （n+2）2ⁿ⁺¹-2

Answer 1

C
分析：由已知利用递推公式s_n-s_n-1=a_n，a₁=s₁可求通项，然后代入，利用错位相减即可求解数列的和
解答：∵S_n=（n²+n）﹒2ⁿ，
∴S_n-1=[（n-1）²+（n-1）]﹒2^n-1，（n≥2）
两式相减可得，s_n-s_n-1=（n²+n）﹒2ⁿ-[（n-1）²+（n-1）]﹒2^n-1，
=2^n-1•（n²+3n）（n≥2）
n=1时，a₁=s₁=4适合上式
∴a_n=2^n-1•（n²+3n）
∴=（n+3）•2^n-1
∴s_n=4•2⁰+5•2+…+（n+3）•2^n-1
2s_n=4•2+5•2¹+…+（n+2）•2^n-1+（n+3）•2ⁿ
两式相减可得，-s_n=4+2+2²+…+2^n-1-（n+3）•2ⁿ
=4+-（n+3）•2ⁿ
=4+2ⁿ-2-（n+3）•2ⁿ
=2-（n+2）•2ⁿ
∴S_n=（n+2）•2ⁿ-2
故选C．
点评：本题主要考查了数列的求和、利用数列的递推公式转化数列的和与项之间的关系，数列的错位相减求和方法的应用．