题目内容
已知函数f(x)=sin2x+asinx+
．
（Ⅰ）设a＞0，b=
，求证：f(
)≥
（Ⅱ）若b=-2，f（x）的最大值大于6，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设a≥2，若存在x∈R，使得f（x）≤0，求a2+b2-8a的最小值．
| a2+b-1 |
| a |
（Ⅰ）设a＞0，b=
| 5 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 9 |
| 4 |
（Ⅱ）若b=-2，f（x）的最大值大于6，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设a≥2，若存在x∈R，使得f（x）≤0，求a2+b2-8a的最小值．
（Ⅰ）∵a＞0，b=
∴f(
)=sin2
+asin
+
=
+
+
≥2
+
=
即f(
)≥
（Ⅱ）∵b=-2，∴f(x)=sin2x+asinx+a-
，设t=sinx，令g(t)=t2+at+a-
=(t+
)2-
+a-
(-1≤t≤1)
当-
＜0时，h(a)=g(1)；当-
＞0时，h(a)=g(-1)；
h(a)=
解得a的取值范围是(-
，0)∪(3，+∞)
（Ⅲ）设t=sinx，令?(t)=t2+at+a+
，
∴φ(t)的图象的对称轴t=-
≤-1，
设t=sinx，令φ（t）=t2+at+a+
=(t+
)2-
+a+
(-1≤t≤1)
∵a≥2
∴b≤1-a≤-1
| 5 |
| 3 |
∴f(
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
a2+
| ||
| a |
| 3a |
| 2 |
| 2 |
| 3a |
| 1 |
| 4 |
|
| 1 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
即f(
| π |
| 6 |
| 9 |
| 4 |
（Ⅱ）∵b=-2，∴f(x)=sin2x+asinx+a-
| 3 |
| a |
| 3 |
| a |
=(t+
| a |
| 2 |
| a2 |
| 4 |
| 3 |
| a |
当-
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
h(a)=
|
解得a的取值范围是(-
| 3 |
| 5 |
（Ⅲ）设t=sinx，令?(t)=t2+at+a+
| b-1 |
| a |
∴φ(t)的图象的对称轴t=-
| a |
| 2 |
设t=sinx，令φ（t）=t2+at+a+
| b-1 |
| a |
=(t+
| a |
| 2 |
| a2 |
| 4 |
| b-1 |
| a |
∵a≥2
∴b≤1-a≤-1
练习册系列答案
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