题目内容

若关于x的方程x²-（a-1）x+b-1=0的两实根为x₁，x₂，且x₁²+x₂²=1
（1）求出a与b之间的函数关系b=f（a）及定义域；
（2）作出b=f（a）的简图，并求出函数b=f（a）的最大值与最小值．

解：（1）依题意：△=（a-1）²-4（b-1）≥0?a²-2a-4b+5≥0 ①
x₁²+x₂²=1?（a-1）²-2（b-1）=1?b= $\text{[math]}$ （a-1）²+ $\text{[math]}$ ②
把②代入①得 $\text{[math]}$
∴b= $\text{[math]}$ （a-1）²+ $\text{[math]}$ ，a∈[1- $\text{[math]}$ ，1+ $\text{[math]}$ ]

（2）由（1）得b= $\text{[math]}$ （a-1）²+ $\text{[math]}$ ，a∈[1- $\text{[math]}$ ，1+ $\text{[math]}$ ]
∴当a=1时， $\text{[math]}$ ；
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）b=f（a）的解析式可以利用x₁²+x₂²=1的恒等变形与二次方程根与系数的关系结合求出，其定义域要满足方程x²-（a-1）x+b-1=0有两实根，即判别式大于等于0．
（2）由（1）知b=f（a）是一个二次函数，故依据二次函数的性质求最大值与最小值即可
点评：本题考点是二次函数的性质，考查利用根与系数的关系求解析式以及利用二次函数的性质求最值，本题第一小题对恒等变形的技巧要求较高，做题时应细心体会．