题目内容

某中学对某班50名学生学习习惯和数学学习成绩进行长期的调查，学习习惯和数学成绩都只分良好和一般两种情况，得到的统计数据（因某种原因造成数据缺省，现将缺省部分数据用x，y，z，m，n表示）如下表所示：
数学成绩良好数学成绩一般合计
学习习惯良好 20 x 25
学习习惯一般 y 21 z
合计 24 m n
（1）在该班任选一名学习习惯良好的学生，求其数学成绩也良好的概率．
（2）已知A是学习习惯良好但数学成绩一般的学生，B是学习习惯一般但数学成绩良好的学生，在学习习惯良好但数学成绩一般的学生和学习习惯一般但数学成绩良好的学生中，各选取一学生作代表，求A、B至少有一个被选中的概率．
（3）有多大的把握认为该班的学生的学习习惯与数学成绩有关系？说明理由．
参考公式： $数学公式$ ；
临界值表：
p（Χ²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

解：由已知：n=50，∴x=5，z=25，y=4，d=26…（2分）
（1）从学习习惯良好的学生中任选一人共有25种情况，而数学成绩良好的共有20种情况
∴ $\text{[math]}$ …（4分）
（2）记A、B至少有一个被选中为事件T
记除A外其他学习习惯良好但数学成绩一般的同学分别为A₁，A₂，A₃，A₄，除B外其他学习习惯一般但数学成绩良好的同学分别为B₁，B₂，B₃，则选人所有可能有：AB，AB₁，AB₂，AB₃A₁B，A₁B₁，A₁B₂，A₁B₃A₂B，A₂B₁，A₂B₂，A₂B₃A₃B，A₃B₁，A₃B₂，A₃B₃A₄B，A₄B₁，A₄B₂，A₄B₃共20个结果 …（6分）
其中T中含AB，AB₁，AB₂，AB₃，A₁B，A₂B，A₃B，A₄B共8个结果…（7分）
$\text{[math]}$ …（8分）
（3） $\text{[math]}$ …（11分）
∴我们有99.9%的把握认为“该班学生的学习习惯与数学学习成绩”有关系 …（12分）
分析：（1）首先确定n=50，x=5，z=25，y=4，d=26，求得从学习习惯良好的学生中任选一人共有25种情况，而数学成绩良好的共有20种情况，从而可求概率；
（2）利用列举法，求得选人所有可能，A、B至少有一个被选中的结果，利用古典概型概率公式，即可求得结论；
（3）利用公式求得Χ²，对照临界值表，即可求得结论．
点评：本题考查概率的计算，考查列举法确定基本事件，考查独立性检验知识，正确运算是关键．