Question

已知直线l：

1

4

x+b（b≠0）与离心率为

3

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，点P（

4 5

5

，-

5

5

）在椭圆C上但不在直线l上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：直线PA、PB的斜率之积为定值．

Answer 1

分析：（1）由离心率确定a，b的关系，将点的坐标代入方程，即可求得椭圆的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由①知，x₁+x₂=-

8b

5

，x₁x₂=

16(b2-1)

5

，求得直线PA、PE的斜率之积，化简可得结论．

解答：（1）解：由离心率为

3

2

，可得a²=4b²
将P（

4 5

5

，-

5

5

）代入椭圆方程可得

16

5a2

+

1

5b2

=1
∴b²=1
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1
（2）证明：将直线方程代入椭圆方程，消去y可得5x²+8bx+16（b²-1）=0①，
则64b²-4×5×16（b²-1）＞0，∴-

5

2

＜b＜

5

2

∵点P不在直线l上，∴b≠-

2 5

5

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由①知，x₁+x₂=-

8b

5

，x₁x₂=

16(b2-1)

5

则直线PA、PE的斜率之积为

4 5 b2- 8 5 5 b

16b2 5 + 32 5 5 b

=

1

4

∴直线PA、PE的斜率之积为定值

1

4

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．