Question

函数f（x）为定义在R上的偶函数，且满足f（x+1）+f（x）=1，当x∈[1，2]时，f（x）=2-x，则f（-2013）=（　　）

A．-1

B．1

C．2

D．-2

Answer 1

分析：利用函数f（x）为定义在R上的偶函数，且满足f（x+1）+f（x）=1，可求得f（x+2）=f（x），再结合x∈[1，2]时f（x）=2-x，即可求得答案．

解答：解：∵f（x+1）+f（x）=1，①
用-x代替x得：f（-x+1）+f（-x）=1，②
∵f（x）为定义在R上的偶函数，f（-x）=f（x），
∴②式可化为：f（-x+1）+f（x）=1③
由①③得：f（x+1）=f（1-x），
∴f[（x+1）+1]=f[1-（x+1）]=f（-x）=f（x），即f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以2为周期的函数，又f（x）为定义在R上的偶函数，
又x∈[1，2]时f（x）=2-x，
∴f（-2013）=f（2013）=f（1）=2-1=1，
故选B．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的奇偶性与周期性，求得f（x+2）=f（x）是关键，也是难点，属于中档题．