Question

已知a₁=9，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…，设b_n=lg（1+a_n）．
（1）证明数列{b_n}是等比数列；
（2）设C_n=nb_n+1，求数列{C_n}的前n项和；
（3）设dn=

1

an

+

1

an+2

，求数列{d_n}的前n项和D_n，并证明Dn+

2

an+1

=

2

9

．

Answer 1

分析：（1）把点（a_n，a_n+1）代入函数f（x）的解析式即可得a_n，a_n+1的关系式，两边取对数进而可得b_n+1=2b_n，原式得证，
（2）根据（1）中数列{b_n}的首项和公比，可求得b_n，进而可求得C_n，通过错位相减法求得数列{C_n}的前n项和，
（3）先根据a_n+1=a_n²+2a_n可推知

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，进而求得d_n与a_n+1和a_n的关系式，由（1）知：lg（1+a_n）=2^n-1可求得a_n，代入d_n与a_n+1和a_n的关系式，即可求得d_n，由Dn=2(

1

an

-

1

an+1

)知Dn+

2

an+1

=

2

a1

=

2

9

，进而证明Dn+

2

an+1

=

2

9

．

解答：解：（1）证明：由题意知：a_n+1=a_n²+2a_n∴a_n+1+1=（a_n+1）²
∵a₁=9，∴a_n+1＞0，
∴lg（a_n+1+1）=lg（a_n+1）²即b_n+1=2b_n，
又∵b₁=lg（1+a₁）=1＞0
∴{b_n}是首项为1比为2的等比数列；
（2）由（1）知：b_n=b₁•2^n-1=2^n-1∴C_n=n•2ⁿ，设{C_n}的前n项和为S_n．
∴S_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ
∴2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
-Sn=1•21+22+23+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2
{C_n}的前n项和为n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2．
（3）∵a_n+1=a_n²+2a_n=a_n（a_n+2）＞0∴

1

an+1

=

1

2

(

1

an

-

1

an+2

)
∴

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

∴dn=

1

an

+

1

an

-

2

an+1

=2(

1

an

-

1

an+1

)
∴Dn=d1+d2+…+d n=2(

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

)=2(

1

a1

-

1

an+1

)
又由（1）知：lg（1+a_n）=2^n-1∴an+1=102n-1∴an+1=102n-1
∴Dn=2(

1

9

-

1

102 n-1

)又由Dn=2(

1

a1

-

1

an+1

)知Dn+

2

an+1

=

2

a1

=

2

9

．

点评：本题主要考查等比数列的性质和数列的求和．对于一些特殊数列的求和可利用错位相减法、裂项法等方法来解决．