Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+c（a，b，c∈R）的图象过点P（-1，2），且在点P处的切线与直线x-3y=0垂直．
（Ⅰ）若c=0，试求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，b＞0，且函数f（x）在（-∞，m），（n，+∞）上单调递增，试求n-m的范围．

Answer 1

（Ⅰ）因为f（x）的图象过点P（-1，2），所以-a+b+c=2．
又f′（x）=3ax²+2bx，且在点P处的切线与直线x-3y=0垂直．
所以3a-2b=-3，且c=0，所以a=1，b=3．所以f（x）=3x²+6x．
令f′（x）=0?x₁=0，x₂=-2．显然当x＜-2或x＞0时，f′（x）＞0；
当-2＜x＜0时，f′（x）＜0．则函数f（x）的单调增区间是（-∞，-2），（0，+∞），
函数f（x）的单调减区间是（-2，0）．（6分）
（Ⅱ）令f′（x）=3ax²+2bx=0，得x1=0，x2=-

2b

3a

．
因为a＞0，b＞0，所以当x＞0或x＜-

2b

3a

时，f′（x）＞0，
即函数f（x）的单调增区间是(-∞，-

2b

3a

)，(0，+∞)．
所以n-m≥0-(-

2b

3a

)=

2b

3a

.
又由（Ⅰ）知：3a-2b=-3，
所以n-m≥

2b

3a

=

3a+3

3a

=1+

1

a

＞1.
所以n-m＞1．（14分）