Question

已知函数f（x）=2x+alnx（a∈R），
(1)讨论函数f（x）的单调性；
(2)若函数f（x）有两个零点，求实数的取值范围；
(3)若函数f（x）的最小值为h（a），m，n为h（a）定义域A中的任意两个值，求证：。

Answer 1

解：(1)，
令，
当a≥0时，，
∴函数上单调递增；
当a＜0时，若；
若；
∴函数上单调递减，在区间上单调递增；
综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调增区间为；
当a＜0时，函数f（x）的单调减区间为，单调增区间为；
(2)由(1)知，当a≥0时，函数f（x）至多有一个零点，不符合题意，
∴a＜0，
又由(1)知，若a＜0，
则函数f（x）在处取得极小值，
∴函数f（x）有两个零点，解得a＜-2e，
∴a的取值范围是；
(3)由(1)(2)知，当a≥0时，函数f（x）无最小值；
当a＜0时，，
对于且m≠n，有
 
，
不妨设m＜n＜0，则，
令，则
，
设，
则，
当且仅当t=1时取“=”，
所以函数u（t）在上单调递增，
故t＞1时，，
又n＜0，
∴，
所以。