Question

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12
（1）数列{a_n}的通项公式a_n
（2）令bn=3an，求证：数列{b_n}是等比数列
（3）令cn=

1

anan+1

，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得a₂=4，继而可得公差d，于是可求数列{a_n}的通项公式；
（2）易求b_n=9ⁿ，可证得

bn+1

bn

=9，从而可证数列{b_n}是等比数列；
（3）利用裂项法可知，c_n=

1

anan+1

=

1

2n(2n+2)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），于是可求数列{c_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，
∴3a₂=12，
∴a₂=4，
∴数列{a_n}的公差d=a₂-a₁=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n；
（2）∵a_n=2n，
∴b_n=3an=3²ⁿ=9ⁿ，
∴

bn+1

bn

=

9n+1

9n

=9，
∴数列{b_n}是等比数列；
（3）∵c_n=

1

anan+1

=

1

2n(2n+2)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=

1

4

（1-

1

n+1

）
=

n

4(n+1)

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与等比关系的确定，突出裂项法求和的考查，属于中档题．