Question

函数f（x）=x²+|x+a|-b的图象上存在点P（x₁，f（x₁））对任意a∈[-1，3]都不在x轴的上方，则b的最小值为

11

4

．

Answer 1

分析：由函数f（x）=x²+|x+a|-b的图象上存在点P（x₁，f（x₁））对任意a∈[-1，3]都不在x轴的上方，可得任意a∈[-1，3]，函数f（x）的最小值f（x）_min≤0恒成立，分a∈[-1，-

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2

]时，a∈（-

1

2

，

1

2

）时和a∈[

1

2

，3]时三种情况，讨论（x）_min≤0恒成立时b的范围，最后综合分类结果，即可得到答案．

解答：解：若函数f（x）=x²+|x+a|-b的图象上对任意a∈[-1，3]
都有点P（x₁，f（x₁））都不在x轴的上方
则对任意a∈[-1，3]，函数f（x）的最小值f（x）_min≤0恒成立，
∵f（x）=

x2-x-a-b，x≤-a x2+x+a-b，x＞-a

∵a∈[-1，3]
∴当a∈[-1，-

1

2

]时，-a∈[

1

2

，1]，此时f（x）_min=f（

1

2

）=-

1

4

-a-b，
若f（x）_min≤0恒成立，则b≥

3

4

∴当a∈（-

1

2

，

1

2

）时，-a∈（-

1

2

，

1

2

），此时f（x）_min=f（-a）=a²-b，
若f（x）_min≤0恒成立，则b≥1
当a∈[

1

2

，3]时，-a∈[-3，-

1

2

]，此时f（x）_min=f（-

1

2

）=-

1

4

+a-b，
若f（x）_min≤0恒成立，则b≥

11

4

若f（x）_min≤0恒成立，则b的最小值为

11

4

故答案为

11

4

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，二次函数的图象，其中分类讨论出a∈[-1，-

1

2

]时，a∈（-

1

2

，

1

2

）时和a∈[

1

2

，3]时三种情况，讨论（x）_min≤0恒成立时b的范围，是解答本题的关键．