题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且经过点D（1，
）．A，B分别是椭圆C的左右顶点，M为椭圆上一点，直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求
•
的值
（3）求|PQ|的最小值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）求
| AP |
| BQ |
（3）求|PQ|的最小值．
（1）椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，
∴
=
=
，∴b2=
a2 ①．
再由椭圆经过点D（1，
），可得
+
=1，即
+
=1 ②．
由①②解得 a2=4，b2=3，故椭圆C的方程
+
=1．
（2）由题意可得 A（-2，0），B（2，0），∵M为椭圆上一点，可设M（2cosθ，
sinθ）．
∵直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q，椭圆右准线L方程为 x=4，故可设p（4，y1），Q（4，y2）．
由题意可得 A、M、P三点共线，可得 KAM=KAP，∴
=
，∴y1=3
．
再由M、B、P 三点共线，可得 KBM=KBQ，∴
=
，∴y2=
．
∴
=（6，3
），
=（2，
）．
∴
•
=（6，3
）•（2，
）=12+3
•
=12+9
=12-9=3，
即
•
=3．
（3）由（2）|yp|•|yq|=9，∴|PQ|=|yp-yq |=|yp|+|yq|≥2
|=6，当且仅当|yp|=|yq|时等号成立，
故|PQ|的最小值为6．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| c |
| a |
| ||
| a |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
再由椭圆经过点D（1，
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| a2 |
| ||
| b2 |
| 1 |
| a2 |
| 9 |
| 4b2 |
由①②解得 a2=4，b2=3，故椭圆C的方程
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）由题意可得 A（-2，0），B（2，0），∵M为椭圆上一点，可设M（2cosθ，
| 3 |
∵直线AM，BM分别交椭圆右准线L于P，Q，椭圆右准线L方程为 x=4，故可设p（4，y1），Q（4，y2）．
由题意可得 A、M、P三点共线，可得 KAM=KAP，∴
| ||
| 2cosθ+2 |
| y1 |
| 4+2 |
| 3 |
| sinθ |
| cosθ+1 |
再由M、B、P 三点共线，可得 KBM=KBQ，∴
| ||
| 2cosθ-2 |
| y2 |
| 4-2 |
| ||
| cosθ-1 |
∴
| AP |
| 3 |
| sinθ |
| cosθ+1 |
| BQ |
| ||
| cosθ-1 |
∴
| AP |
| BQ |
| 3 |
| sinθ |
| cosθ+1 |
| ||
| cosθ-1 |
| 3 |
| sinθ |
| cosθ+1 |
| ||
| cosθ-1 |
| sin2θ |
| cos2θ-1 |
即
| AP |
| BQ |
（3）由（2）|yp|•|yq|=9，∴|PQ|=|yp-yq |=|yp|+|yq|≥2
| |yp|•|yq |
故|PQ|的最小值为6．
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