题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为
2
-1．以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+
2
=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足
OA
+
OB
=t
OP
（O为坐标原点）．当|AB|=
2
5
3
 时，求实数t的值．
分析：（Ⅰ）利用椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为
2
-1，可求a-c的值，利用直线与圆相切，可得b的值，由此可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及|AB|=
2
5
3
，
OA
+
OB
=t
OP
，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）由题意知a-c=
2
-1；                                …（2分）
又因为b=
2
1+1
=1，所以a2=2，b2=1．                       …（4分）
故椭圆C的方程为
x2
2
+y2=1．                                  …（5分）
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
由
y=k(x-2)
x2
2
+y2=1
得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0．           …（7分）
△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，∴k2＜
1
2
．                 …（9分）
x1+x2=
8k2
1+2k2
，x1x2=
8k2-2
1+2k2
．
又由|AB|=
2
5
3
，得
1+k2
|x1-x2|=
2
5
3
，即 
1+k2
×
(
8k2
1+2k2
)2-4×
8k2-2
1+2k2
=
2
5
3
 …（11分）
可得k2=
1
4
                                    …（12分）
又由
OA
+
OB
=t
OP
，得（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），则x=
x1+x2
t
=
8k2
t(1+2k2)
，y=
y1+y2
t
=
-4k
t(1+2k2)
 …（13分）
故[
8k2
t(1+2k2)
]2+2×[
-4k
t(1+2k2)
]2=2，即16k2=t2（1+2k2）．   …（14分）
得，t2=
8
3
，即t=±
2
6
3
．                            …（15分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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