Question

已知函数f(x)=

ax+b

x2+1

图象在x=1处的切线方程为2y-1=0．
（Ⅰ） 求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若△ABC的三个顶点（B在A、C之间）在曲线y=f（x）+ln（x-1）（x＞1）上，试探究f(2sin2A+sin2C)与f(2sin2B)的大小关系，并说明理由；
（Ⅲ）证明：

1

12+1

+

2

22+1

+…+

n

n2+1

＞ln

n

2

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值即可；
（Ⅱ） 先设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）且x₁＜x₂＜x₃y=f（x）-ln（x-1）=

x

x2+1

+ln(x-1)（x＞1）利用志数证明得函数在（1，+∞）上单调递增，由x₁＜x₂＜x₃得y₁＜y₂＜y₃，则

BA

•

BC

=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+（y₁-y₂）（y₃-y₂）＜0，则B是钝角，最后结合余弦定理和正弦定理得sin²A+sin²C＜sin²B．从而得到证明；
（Ⅲ）分两步进行证明：第一步，当n=1时不等式成立；第二步，当n＞1时，构造函数g(x)=

x

x2+1

x∈[1，+∞），由（Ⅰ）得g（x）是[1，+∞）上的减函数，将区间[1，n]（n＞1）n-1等分，由定积分定义及几何意义得到证明．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

，由题意得f′(1)=0，f(1)=

1

2

，
则解得a=1，b=0…（2分）
由f′(x)=-

(x-1)(x+1)

(x2+1)2

得f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，故f（x）的极小值=f(-1)=-

1

2

，f（x）的极大值=f(1)=

1

2

…（4分）
（Ⅱ） 证明：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）且x₁＜x₂＜x₃y=f（x）-ln（x-1）=

x

x2+1

+ln(x-1)（x＞1）y'=

x4-x3+3x2+x

x(x2+1)2

＞0，函数在（1，+∞）上单调递增，由x₁＜x₂＜x₃得y₁＜y₂＜y₃…（6分）
则

BA

•

BC

=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+（y₁-y₂）（y₃-y₂）＜0，则B是钝角
由余弦定理得

a2+c2-b2

2ac

=cosB＜0，即a²+c²＜b²，
由正弦定理得sin²A+sin²C＜sin²B．则2sin2B＞2sin2A+sin2C＞1，
又∵f（x）是（1，+∞）上的增函数，∴f(2sin2B)＞f(2sin2A+sin2C)…（9分）
（Ⅲ） 证明：当n=1时不等式成立，…（10分）
当n＞1时，构造函数g(x)=

x

x2+1

x∈[1，+∞），由（Ⅰ）得g（x）是[1，+∞）上的减函数，
将区间[1，n]（n＞1）n-1等分，由定积分定义及几何意义得

n-1

k=1

1×g(k)＞∫limit

s

n 1

x

x2+1

dx

n

k=1

g(k)＞

1

2

ln(n2+1)-

1

2

ln2＞ln

n

2

…（14分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．