Question

设{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，已知S₇=63，a₄+a₅+a₆=33，
（1）写出数列{a_n}的通项公式；
（2） 求数列b_n=2^an+n，求数列{b_n}的前n项和Tn；
（3） 求证：

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜

3

4

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的性质若p+q=m+n，a_n+a_m=a_p+a_q，由S₇=63，a₄+a₅+a₆=33，可得a₄，a₅，进一步可求公差d的值，从而求出a
（2）由（1）中所求a_n可得b_{n=2²ⁿ⁺¹+n}，分别用等差数列及等比数列的前n和公式，利用分组求和求Tn
（3）利用裂项求和

解答：解：（1）∵s7=

(a1+a7)

2

×7=7a4=63
∴a₄=9，又a₄+a₅+a₆=33，3a₅=33，则a₅=11
 公差d=2，a_n=2n+1；
（2）∵b_n=2^an+n=2²ⁿ⁺¹+n
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（2³+1）+（2⁵+2）+••+（2²ⁿ⁺¹+n）
=（2³+2⁵+…+2²ⁿ⁺¹）+（1+2+…+n）
=

8(4n-1)

3

+

n(n+1)

2

 （3）由等差数列的前n项和公式可得，Sn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n=n(n+2)
∴

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴

1

S1

+

1

S2

 +…+

1

Sn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

1+n

-

1

n+2

 )=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

＜

3

4

点评：利用等差数列的性质求相关量是历年高考的常见题型，解题关键是熟练应用等差数列的性质，灵活转化，裂项、分组数列求和的常用方法，把数列求和与不等式结合，也是近几年高考的趋势．