Question

已知函数y=2sin(2x+

π

6

)．
（1）求函数的单调减区间；
（2）若x∈[-

π

4

，

π

4

]，求函数的值域．

Answer 1

分析：（1）由正弦函数的单调区间的公式，解关于x的不等式，即可得到函数的单调减区间；
（2）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，可得2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，结合正弦函数在[-

π

3

，

2π

3

]上的单调性，求出函数的最大值与最小值，即可得到此时函数的值域．

解答：解：（1）令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），
解得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ（k∈Z），
∴函数的单调减区间为[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]（k∈Z）；
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，可得2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴当2x+

π

6

=-

π

3

时，即x=-

π

4

时，函数y=2sin(2x+

π

6

)的最小值为2sin（-

π

3

）=-

3

；
当2x+

π

6

=

π

2

时即x=

π

6

时，函数y=2sin(2x+

π

6

)的最大值为2sin

π

2

=2．
因此，函数的值域为[-

3

，2]．

点评：本题给出正弦型三角函数的解析式，求函数的单调区间并求闭区间上的值域．着重考查了三角函数的图象与性质、函数的值域求法等知识，属于中档题．