Question

我校有A、B、C、D四间自习室提供给周末没回家的学生学习使用（座位足够），设每位学生可以等可能地自主选择且只选择其中一间自习室．已知我们班本周末有4名同学没回家且都决定去自习室学习．
（Ⅰ）求4名同学中恰有2人选择在A室学习的概率；
（Ⅱ）设4名同学中选择自习室的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，每位同学以

1

4

的概率选择在A室学习，利用独立重复试验的概率公式可求4名同学中恰有2人选择在A室学习的概率；
（Ⅱ）确定ξ的可能取值，求出相应的概率，可得ξ的分布列和数学期望．

解答：解：（Ⅰ）依题意，每位同学以

1

4

的概率选择在A室学习，则4名同学中恰有2人选择在A室学习的概率为P1=

C

2 4

(

1

4

)2•(1-

1

4

)2=

27

128

…（4分）
（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，4…（5分）
P(ξ=1)=

C 1 4

44

=

1

64

，P(ξ=4)=

A 4 4

44

=

6

64

，P(ξ=3)=

C 2 4 A 3 4

44

=

36

64

P(ξ=2)=1-(

1+6+36

64

)=

21

64

或P(ξ=2)=

C 1 4 A 2 4 + C 2 4 2！ A 2 4

44

=

21

64

…（9分）
∴ξ的分布列是：

ξ	1	2	3	4
P（ξ）	1 64	21 64	36 64	6 64

数学期望Eξ=1×

1

64

+2×

21

64

+3×

36

64

+4×

6

64

=

175

64

．…（12分）

点评：本题考查独立重复试验的概率公式，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．