Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，S_n为其前n项和，且满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

n

an-1

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）若f（x）=2^x-1，c_n=

1

anan+1

，Q_n=c₁f（1）+c₂f（2）+…+c_nf（n），求证Q_n＜

1

6

（n∈N*）．

Answer 1

分析：（1）由S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1得an=an-1+2n-1（n≥3，n∈N^*），利用累加法可求得a_n，注意验证a₁=3，a₂=5的情形；
（2）由（1）易求bn=

n

an-1

=

n

2n

，利用错位相减法可求得T_n；
（3）cnf(n)=

2n-1

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)(n∈N*)，利用裂项相消法可求得Q_n，然后适当放缩可证明不等式；

解答：解：（1）由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1得an=an-1+2n-1(n≥3，n∈N*)，
∵a₂=5，∴当n≥3时，a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）=5+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ+1，
经验证a₁=3，a₂=5也符合上式，
∴an=2n+1(n∈N*)；
（2）由（1）可得bn=

n

an-1

=

n

2n

，
∴Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①⇒

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②，
①-②有：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴Tn=2-

n+2

2n

；
（3）∵f(x)=2x-1，cn=

1

anan+1

，
∴cnf(n)=

2n-1

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)(n∈N*)，
∴Q_n=c₁f（1）+c₂f（2）+…+c_nf（n）
=

1

2

[(

1

21+1

-

1

22+1

)+(

1

22+1

-

1

23+1

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)]
=

1

2

(

1

1+2

-

1

2n+1+1

)＜

1

2

×

1

3

=

1

6

．

点评：本题考查数列与不等式的综合、错位相减法及裂项相消法对数列求和，考查学生综合运用知识解决问题的能力．