Question

数列{a_n}是公差为正数的等差数列，a₂、a₅且是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=1-，
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，解方程x²-12x+27=0可得a₂、a₅，从而可得数列{a_n}的通项公式；由T_n=1-b_n可求得数列{b_n}的通项公式；
（2）c_n=a_n•b_n，利用错位相减法可求数列{c_n}的前n项和S_n．
解答：解：（1）∵等差数列{a_n}的公差d＞0，a₂、a₅且是方程x²-12x+27=0的两根，
∴a₂=3，a₅=9．
∴d==2，
∴a_n=a₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
又数列{b_n}中，T_n=1-b_n，①
∴T_n+1=1-b_n+1，②
②-①得：=，又T₁=1-b₁=b₁，
∴b₁=，
∴数列{b_n}是以为首项，为公比的等比数列，
∴b_n=•；
综上所述，a_n=2n-1，b_n=•；
（2）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）••，
∴S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
=1×+3××+…+（2n-1）××，③
∴S_n=×+3××+…+（2n-3）××+（2n-1）××，④
∴③-④得：S_n=+[+++…+]-（2n-1）××，
S_n=1+2[+++…+]-（2n-1）×
=1+2×-（2n-1）×
=2-×
=2-（2n+2）×．
点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式，突出考查错位相减法求和，属于中档题．