Question

如图，四面体ABCD中，O．E分别为BD．BC的中点，且CA = CB = CD = BD = 2，AB = AD = 。

 

   （1）求证：AO⊥平面BCD；

   （2）求 异面直线AB与CD所成角的余弦值。

Answer 1

（1）证明： ABD中

 

∵AB = AD = ，O是BD中点，BD = 2

    ∴ AO⊥BD 且  = 1 

    BCD中，连结OC   ∵ BC = DC = 2

    ∴ CO ⊥ BD 且  

    AOC中 AO = 1，CO =，AC = 2

    ∴ AO ² + CO ² = AC ²   故 AO⊥CO

    ∴ AO ⊥平面BCD

（2）取AC中点F，连结OF．OE．EF

      

ABC中 E．F分别为BC．AC中点

    ∴ EF∥AB，且

    BCD中 O．E分别为BD．BC中点

    ∴ OE∥CD 且

    ∴ 异面直线AB与C D所成角等于∠OEF（或其补角）

    又OF是RtAOC斜边上的中线   ∴  

    ∴ 等腰OEF中