Question

已知函数f（x）=ax³+x²-x+b（a，b∈R且a≠0在区间（2，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．

Answer 1

分析：依题意，f′（x）在（2，+∞）上存在子区间使得f′（x）＞0，分a＞0与a＜0讨论，数形结合即可求得a的取值范围．

解答：解：由已知，f′（x）=3ax²+2x-1…（2分）
∵f（x）在区间（2，+∞）上存在单调递增区间，
∴f′（x）在（2，+∞）上存在子区间使得f′（x）＞0，…（4分）
①当a＞0时，f′（x）=3ax²+2x-1是开口向上的抛物线，显然，f′（x）在（2，+∞）上必存在子区间使得f′（x）＞0，即a＞0适合，…（6分）
②当a＜0时，f′（x）=3ax²+2x-1是开口向下的抛物线，若使f′（x）在（2，+∞）上存在子区间使得f′（x）＞0，则f′（x）的图象如图所示：

∴

a＜0 △=4+12a＞0 f′(2)＞0

，解得-

1

4

＜a＜-

1

3

，…（10分）
故a的取值范围是（-

1

4

，-

1

3

）∪（0，+∞）、

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与分类讨论思想、数形结合思想的综合应用，属于中档题．