Question

如图三同心圆，其半径分别为3、2、1．已知图中阴影区域的面积是非阴影区域面积的

8

13

．则两直线所夹锐角的弧度为

 

．

Answer 1

分析：首先把三个圆分别分析，第一个为圆，第二个为半径2与半径1的同心圆的圆环，第三个为半径3与半径2的同心圆的圆环．分别求出阴影部分的面积．然后通过已知阴影区域的面积占总面积的

8

21

，求出阴影部分面积．两个面积相同，即可解除答案

解答：解：设两直线所夹锐角的弧度为 α
根据题意，
对于第一个圆，阴影部分面积：

α

π

•π=α
对于第一个圆，阴影部分面积：

π-α

π

•(4π-π)=3π-3α
对于第一个圆，阴影部分面积：

α

π

•(9π-4π)=5α
所有阴影部分面积之和：α+3π-3α+5α=3π+3α                   ①
而根据已知图中阴影区域的面积是非阴影区域面积的

8

13

可得：阴影区域的面积占总面积的

8

21

即阴影区域的面积 9π×

8

21

                                ②
由①②相等可得：3π+3α=9π×

8

21

  
解得：α=

π

7

故答案为：

π

7

．

点评：本题考查两直线夹角问题，实际上为考查几何概型．通过对三个同心圆的考查，通过两种途径求出阴影部分的面积，继而可以求出夹角．属于难题