Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4和直线l：x+2y+2=0，直线m，n都经过圆C外定点A（1，0）．
（Ⅰ）若直线m与圆C相切，求直线m的方程；
（Ⅱ）若直线n与圆C相交于P，Q两点，与l交于N点，且线段PQ的中点为M，求证：|AM|•|AN|为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）①当直线m的斜率不存在，即直线是x=1，成立，②当直线m斜率存在，设直线m为y=k（x-1），由圆心到直线的距离等于半径求解．
（II）用几何法，作出直线与圆的图象，根据三角形相似，将|AM|•|AN|转化为|AC|•|AB|验证求解．

解答：解：（Ⅰ）①若直线m的斜率不存在，即直线是x=1，符合题意．
②若直线m斜率存在，设直线m为y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l₁的距离等于半径2，
即：

|3k-4-k|

k2+1

=2，解之得k=

3

4

．
所求直线方程是x=1，3x-4y-3=0．
（II）用几何法，如图所示，
△AMC∽△ABN，则

AM

AB

=

AC

AN

，
可得|AM|•|AN|=|AC|•|AB|=2

5

•

3

5

=6，
是定值．

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了直线与圆相切，直线与圆相交时构造三角形及三角形相似的应用．