Question

已知幂函数f(x)=x

1

m2+m

(m∈N*)．
（1）试求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
（2）若该函数还经过点(2，

2

)，求m的值并求满足条件f（2-a）＞f（a-1）的实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将指数因式分解，据指数的形式得到定义域，利用幂函数的性质知单调性
（2）将点的坐标代入列出方程解得m，利用函数的单调性去掉法则f，列出不等式解得，注意定义域．

解答：解：（1）∵m²+m=m（m+1），m∈N^*
∴m²+m为偶数，
∴x≥0，所以函数定义域为[0，+∞）
由幂函数的性质知：其函数在定义域内单调递增．
（2）依题意得：

2

=2

1

m2+m

，∴

1

m2+m

=

1

2

，∴m=1（m∈N^*）
由已知得：

2-a＞a-1 a-1≥0

，∴1≤a＜

3

2

，
故a的取值范围为：[1，

3

2

)

点评：本题考查利用幂函数的性质得到单调性，利用待定系数法求出函数的解析式，利用单调性解抽象不等式．