Question

已知△ABC中，A、B、C分别为三个内角，a、b、c为所对边，2（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB，△ABC的外接圆半径为，
（1）求角C；
（2）求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正弦定理化简已知等式的右边，整理后再利用余弦定理变形，求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，利用三角形的面积公式列出关系式，利用正弦定理化简后，将sinC的值及表示出的B代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可得出面积的最大值．
解答：解：（1）利用正弦定理化简已知的等式得：2（sin²A-sin²C）=2sinB（a-b），
整理得：a²-c²=ab-b²，即a²+b²-c²=ab，
∵c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-c²=2abcosC，
∴2abcosC=ab，即cosC=，
则C=；
（2）∵C=，∴A+B=，即B=-A，
∵==2，即a=2sinA，b=2sinB，
∴S_△ABC=absinC=absin=×2sinA×2sinB×
=2sinAsinB=2sinAsin（-A）=2sinA（cosA+sinA）
=3sinAcosA+sin²A=sin2A+（1-cos2A）
=sin2A-cos2A+=sin（2A-）+，
则当2A-=，即A=时，S_△ABCmax=．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．