Question

已知函数f（x）=（log₂x-2）（log₄x-

1

2

），2≤x≤4
（1）求该函数的值域；
（2）若f（x）≤mlog₂x对于x∈[2，4]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（x）=（log₂x-2）（log₄x-

1

2

）=

1

2

(log2x)2-

3

2

log2x+1，2≤x≤4令t=log₂x，则y=

1

2

t2-

3

2

t+1=

1

2

(t-

3

2

)2-

1

8

，由此能求出函数的值域．
（2）令t=log₂x，得

1

2

t2-

3

2

t+1≤mt对于1≤t≤2恒成立，从而得到m≥

1

2

t+

1

t

-

3

2

对于t∈[1，2]恒成立，构造函数g（t）=

1

2

t+

1

t

-

3

2

，t∈[1，2]，能求出m的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=（log₂x-2）（log₄x-

1

2

）
=

1

2

(log2x)2-

3

2

log2x+1，2≤x≤4
令t=log₂x，则y=

1

2

t2-

3

2

t+1=

1

2

(t-

3

2

)2-

1

8

，
∵2≤x≤4，∴1≤t≤2．
当t=

3

2

时，y_min=-

1

8

，当t=1，或t=2时，y_max=0．
∴函数的值域是[-

1

8

，0]．
（2）令t=log₂x，得

1

2

t2-

3

2

t+1≤mt对于1≤t≤2恒成立．
∴m≥

1

2

t+

1

t

-

3

2

对于t∈[1，2]恒成立，
设g（t）=

1

2

t+

1

t

-

3

2

，t∈[1，2]，
∴g（t）=

1

2

t+

1

t

-

3

2

=

1

2

(t+

2

t

)-

3

2

，
∵g（1）=0，g（2）=0，
∴g（t）_max=0，∴m≥0．
故m的取值范围是[0，+∞）．

点评：本题考查函数的值域的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．