Question

已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a，m的值．
（2）当a=2且t≥0时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2t）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得a-m≤x≤a+m，比较题意可得

a-m=-1 a+m=5

，解之可得答案；
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x-2|，不等式可化为|x-2+2t|-|x-2|≤t，①分类讨论：当t=0时，不等式①恒成立，即x∈R；当t＞0时，不等式等价于

x＜2-2t 2-2t-x-(2-x)≤t

，或

2-2t≤x＜2 x-2+2t-(2-x)≤t

，或

x≥2 x-2+2t-(x-2)≤t

，解之综合可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由|x-a|≤m得a-m≤x≤a+m，
结合题意可得

a-m=-1 a+m=5

，解得

a=2 m=3

----------------（4分）
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x-2|，
所以f（x）+t≥f（x+2t）可化为|x-2+2t|-|x-2|≤t，①
当t=0时，不等式①恒成立，即x∈R；
当t＞0时，不等式等价于

x＜2-2t 2-2t-x-(2-x)≤t

，或

2-2t≤x＜2 x-2+2t-(2-x)≤t

，
或

x≥2 x-2+2t-(x-2)≤t

，解得x＜2-2t，或2-2t≤x≤2-

t

2

，或x∈?，即x≤2-

t

2

；
综上，当t=0时，原不等式的解集为R，
当t＞0时，原不等式的解集为{x|x≤2-

t

2

}-----------（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，涉及分类讨论的思想，属中档题．