Question

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足，n∈N^*．数列{b_n}满足，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求a₁、d和T_n；
（2）若对任意的n∈N^*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵，a₁≠0，∴a₁=1．…．（1分）
∵，∴（1+d）²=3+3d，
∴d=-1，2，
当d=-1时，a₂=0不满足条件，舍去．
因此d=2．…．（4分）
∴a_n=2n-1，∴，∴．…．（6分）
（2）当n为偶数时，，∴，
∵，当n=2时等号成立，∴最小值为，
因此． …．（9分）
当n为奇数时，，
∵在n≥1时单调递增，∴n=1时的最小值为，∴． …．（12分）
综上，． …．（14分）
分析：（1）利用，n取1或2，可求数列的首项与公差，从人体可得数列的通项，进而可求数列的和；
（2）分类讨论，分离参数，求出对应函数的最值，即可求得结论．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，解题的关键是分类讨论，分离参数，属于中档题．