Question

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在上.

（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（2）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点，

①求线段AB的长；

②问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；

Answer 1

（1）y²=4x（2）;不存在

解析:

（1）设M（x，y），依题意有|MP|=|MN|，

所以|x+1|=.化简得：.

（2）由题意得，直线AB的方程为y=－（x－1）.

由消y得3x²－10x+3=0，

解得x₁=，x₂=3.　所以A点坐标为（），B点坐标为（3，－2），

|AB|=|x₁-x₂|=.假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

① ②

由①－②得4²+（y+2）²=（）²+（y－）²，

解得y=－.但y=－不符合①，

所以由①，②组成的方程组无解.

因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.