Question

19．随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了5人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：

年龄	[20，25）	[25，30）	[30，35）	[35，40）	[40，45）
人数	4	5	8	5	3
年龄	[45，50）	[50，55）	[55，60）	[60，65）	[65，70）
人数	6	7	3	5	4

年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．
（Ⅰ）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；
（Ⅱ）求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；
（Ⅲ）若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用古典概型的概率公式，求出年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；
（Ⅱ）利用古典概型的概率公式，互斥事件的概率公式，求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；
（Ⅲ）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ） 设“年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成”为事件A，
所以$P（A）=\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10}$．…（3分）
（Ⅱ） 设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B，
所以$P（B）=\frac{C_3^2C_2^1C_1^1}{C_5^2C_3^2}+\frac{C_3^1C_2^1C_2^2}{C_5^2C_3^2}+\frac{C_3^2C_2^2}{C_5^2C_3^2}=\frac{1}{2}$．…（7分）
（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3．
所以$P（X=0）=\frac{C_3^2C_2^2}{C_5^2C_3^2}=\frac{1}{10}$，$P（X=1）=\frac{C_3^1C_2^1C_2^2+C_3^2C_2^1C_1^1}{C_5^2C_3^2}=\frac{2}{5}$，
$P（X=2）=\frac{C_2^2C_2^2+C_3^1C_2^1C_2^1C_1^1}{C_5^2C_3^2}=\frac{13}{30}$，$P（X=3）=\frac{C_2^2C_2^1C_1^1}{C_5^2C_3^2}=\frac{1}{15}$．…（11分）
所以X的分布列是

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{13}{30}$	$\frac{1}{15}$

…（12分）
所以EX=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{2}{5}$+2×$\frac{13}{30}$$+3×\frac{1}{15}$=$\frac{22}{15}$．…（13分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．