Question

（2013•南京二模）关于x的不等式（2ax-1）lnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的值为

1

2

．

Answer 1

分析：依题意，对x∈（0，1]，x∈[1，+∞）分类讨论，构造f（x）=

1

2x

，利用函数的单调性即可求得实数a的值．

解答：解：∵（2ax-1）lnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴当x∈（0，1]时，lnx≤0，
∴2ax-1≤0，
∴a≤

1

2x

（0＜x≤1），
令f（x）=

1

2x

，则f（x）在（0，1]上单调递减，
∴f（x）_min=f（1）=

1

2

∴a≤

1

2

．①
当x∈[1，+∞）时，lnx≥0，
∴（2ax-1）lnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立?2ax-1≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
同理可求a≥f（x）_max=f（1）=

1

2

．②
由①②得：a=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查构造函数与分类讨论思想，考查函数的单调性，属于难题．