Question

已知下面的数列和递推关系：
（1）数列{a_n}（a_n=n）有递推关系a_n+2=2a_n+1-a_n；
（2）{b_n}（b_n=n²）有递推关系b_n+3=3b_n+2-3b_n+1+b_n；
（3））{c_n}（c_n=n³）有递推关系c_n+4=4c_n+3-6c_n+2+4c_n+1-c_n；
试猜想：数列{d_n}（d_n=n⁴）的类似的递推关系

d_n+5=5d_n+4-10d_n+3+10d_n+2-5d_n+1+d_n

．

Answer 1

分析：将已知条件中的三个式子都化成右边等于0的等式，进行观察得到数列{x_n}（x_n=n^k）的递推关系：Ck+10(-1)0xn+k+1+Ck+11(-1)1xn+k+Ck+12(-1)2xn+k-1+…+Ck+1k+1(-1)k+1xn=0，再取k=4代入，即可得到数列{d_n}（d_n=n⁴）的类似的递推关系式．

解答：解：根据已知条件的（1），移项得：a_n+2-2a_n+1+a_n=0…①，
再根据已知条件的（2），移项得b_n+3-3b_n+2+3b_n+1-b_n=0…②，
同理根据已知条件的（3），移项得c_n+4-4c_n+3+6c_n+2-4c_n+1+c_n…③，
由此，归纳出第k个式子，数列{x_n}（x_n=n^k）的递推关系：
Ck+10(-1)0xn+k+1+Ck+11(-1)1xn+k+Ck+12(-1)2xn+k-1+…+Ck+1k+1(-1)k+1xn=0，
当k=4时，得到：C50(-1)0xn+5+C51(-1)1xn+4+C52(-1)2xn+3+C53(-1)3xn+2+C54(-1)4xn+1+C55(-1)5xn=0
即x_n+5-5x_n+4+10x_n+3-10x_n+2+5x_n+1-x_n=0，得到x_n+5=5x_n+4-10x_n+3+10x_n+2-5x_n+1+x_n．
∴数列{d_n}（d_n=n⁴）的类似的递推关系为：d_n+5=5d_n+4-10d_n+3+10d_n+2-5d_n+1+d_n
故答案为：d_n+5=5d_n+4-10d_n+3+10d_n+2-5d_n+1+d_n

点评：本题根据数列数列{x_n}（x_n=n^k）前3个式子，归纳出它的递推关系式，从而得到当k=4时类似的递推关系式，着重考查了二项式系数的性质和进行简单的合情推理等知识点，属于中档题．