Question

设函数f（x）=ln（x+2），
（1）求函数y=f（x）-2x 的单调区间；   
（2）对任意正整数n比较f(

1

n

) 与

1+n

1+2n

的大小，并加以证明；
（3）（实验班学生必答题 10分）如果不等式af(x)≥(a-1)x-

1

2

x2+2a 在（-2，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ln（x+2），知y=f（x）-2x=ln（x+2）-2x，由x+2＞0，得x＞-2．所以y′=

1

x+2

-2，由此能求出函数y=f（x）-2x 的单调区间．
（2）f(

1

n

)＞

1+n

1+2n

．证明：由f（x）在[1，+∞）上是增函数，知[f(

1

n

)]min=f(1)=ln2，设g（n）=

1+n

1+2n

，则g′(n)=

(1+2n)-2(1+n)

(1+2n) 2

=

-1

(1+2n)2

＜0，g（n）在[1，+∞）上是减函数，由此证明f(

1

n

)＞

1+n

1+2n

．
（3）由af(x)≥(a-1)x-

1

2

x2+2a，得a[ln(x+2)-(x+2)]≥-x-

1

2

x 2，设g（x）=a[ln（x+2）-（x+2）]，p（x）=-x-

1

2

x2，不等式af(x)≥(a-1)x-

1

2

x2+2a 在（-2，+∞）内恒成立，等价于当x∈（-2，+∞）时，[g（x）]_min≥[p（x）]_max．由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=ln（x+2），
∴y=f（x）-2x=ln（x+2）-2x，
∵x+2＞0，
∴x＞-2．
y′=

1

x+2

-2，
由y′=

1

x+2

-2＞0，
得x＜-

3

2

，
∴y=f（x）-2x的递增区间是（-2，-

3

2

）．
由y′=

1

x+2

-2＜0，
得x＞-

3

2

，
∴y=f（x）-2x的递减区间是（-

3

2

，+∞）．
（2）f(

1

n

)＞

1+n

1+2n

．
证明：∵f（x）=ln（x+2），
∴x＞-2，f′(x)=

1

x+2

＞0，
∴f（x）在（-2，+∞）上是增函数，
∵n是任意正整数，
∴f(

1

n

)在[1，+∞）上是减函数，
∴f(

1

n

)在[1，+∞）上的最小值[f(

1

n

)]min=

lim

n→+∞

f(

1

n

)=ln2，
设g（n）=

1+n

1+2n

，
则g′(n)=

(1+2n)-2(1+n)

(1+2n) 2

=

-1

(1+2n)2

＜0，
∴g（n）在[1，+∞）上是减函数，
∴g（n）在[1，+∞）上的最大值g（n）_max=g（1）=

1+1

1+2

=

2

3

．
∵ln2-

2

3

=1n2-ln（e

2

3

）=ln

2

3 e2

＞ln1=0，
∴ln2＞

2

3

．
∴f(

1

n

)＞

1+n

1+2n

．
（3）∵f（x）=ln（x+2），
∴由af(x)≥(a-1)x-

1

2

x2+2a，
得 aln(x+2)≥ax-x-

1

2

x2+2a，
∴a[ln(x+2)-(x+2)]≥-x-

1

2

x 2，
设g（x）=a[ln（x+2）-（x+2）]，p（x）=-x-

1

2

x2，
不等式af(x)≥(a-1)x-

1

2

x2+2a 在（-2，+∞）内恒成立，
等价于当x∈（-2，+∞）时，[g（x）]_min≥[p（x）]_max．
∵g′(x)=

a

x+2

-a，
令g′(x)=

a

x+2

-a=0，得x=-1．
①当a＞0时，
x∈（-2，-1）时，g′（x）＞0，g（x）是增函数；
x∈（-1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）是减函数；
∴g（x）有最大值g（-1），无最小值．不合题意．
②当a=0时，g（x）=0，不合题意；
③当a＜0时，
x∈（-2，-1）时，g′（x）＜0，g（x）是减函数；
x∈（-1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）是增函数；
∴g（x）有最小值g（x）_min=g（-1）=-a．
综上所述，当a＜0时，g（x）有最小值g（x）_min=g（-1）=-a．
p（x）=-x-

1

2

x2=-

1

2

(x+1)2+

1

2

≤

1

2

，
∴[p(x)]max=

1

2

．
∵[g（x）]_min≥[p（x）]_max，
∴-a≥

1

2

，
∴a≤-

1

2

．
故实数a的取值范围是（-∞，-

1

2

]．

点评：本题考查导数在求函数最值中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．小题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．