Question

【题目】已知常数，向量，，经过定点且以为方向向量的直线与经过定点且以为方向向量的直线交于点，其中.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若，过的直线交曲线于，两点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由题意结合直线方向向量的性质可得，，由平面向量共线的坐标表示可得，，消去即可得解；

（2）按照直线斜率是否存在讨论，当直线斜率存在时，联立方程组，结合韦达定理、平面向量数量积的坐标运算即可得，求出取值范围即可得解.

（1）设，则，，

又，，

由题意，，

∴，.

消去得点轨迹的方程；

（2）当时，点轨迹方程为，此时为双曲线焦点，

①若直线斜率不存在，直线，不妨设，

易求得；

②若斜率存在，设，

代入，整理得，

则，

设，，则，，，

由且可得，

所以；

综上，的取值范围为.