Question

已知圆O：x²+y²=r²（r＞0）和直线l：y=kx+1．
（1）若k=1时，圆O与直线l相交，求r的取值范围；
（2）若r=2时，当直线l截圆O的弦长为

14

，求k的值．

Answer 1

分析：由圆O的方程找出圆心坐标和半径，
（1）将k的值代入直线l方程，确定出直线l，由圆O与直线l相交，得到圆心到直线l的距离小于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于r的不等式，求出不等式的解集即可得到r的范围；
（2）利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，再由r及弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：由圆O方程x²+y²=r²（r＞0），得到圆心（0，0），半径为r，
（1）当k=1时，直线l方程为y=x+1，
由圆O与直线l相交，得到圆心到直线的距离d＜r，
∴

1

2

＜r，即r＞

2

2

，
则圆O与直线l相交时，r的范围为（

2

2

，+∞）；
（2）∵圆心到直线l的距离d=

1

k2+1

，且r=2，直线l被圆截得的弦长为

14

，
∴

14

=2

r2-d2

，即

14

=2

4- 1 k2+1

，
整理得：k²=3，
解得：k=

3

或k=-

3

，
则k的值为

3

或-

3

．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于圆的半径，此时常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．