Question

已知平面α，β，且α∩β=AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．证明：AB⊥CD．

Answer 1

分析：要证明AB⊥CD，根据直线与平面垂直的性质，只须证明AB⊥平面PCD，只需证明垂直于平面PCD内的两条相交直线，根据本题的条件，只需证明AB⊥PC，AB⊥PD即可，而条件中的PC⊥α，PD⊥β，由线面垂直的定义可以得到PC⊥AB，PD⊥AB，问题得以解决．

解答：解：因为PC⊥α，AB?α，所以PC⊥AB．同理PD⊥AB．
又PC∩PD=P，故AB⊥平面PCD．（5分）
又CD?平面PCD，
∴AB⊥CD…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定以及平面与平面垂直的判定，根据判定定理，证明线面垂直往往转化为证线线垂直，而线线垂直的证明往往还需要线面垂直来得到，要注意二者之间的转化关系，对于面面垂直，定义也是常用的方法．