Question

定义在R上的函数f（x）满足f(0)=0 ，f(x)+f(1-x)=1 ，f(

x

5

)=

1

2

f(x)，且当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂）．则f(

1

2008

)等于？

Answer 1

分析：可令x=1，由f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，求得f（1）=1，又f（

x

5

）=

1

2

f（x）⇒f（

1

5

）=

1

2

；反复利用f（

x

5

）=

1

2

f（x）⇒f（

1

3125

）=

1

2

f（

1

625

）=

1

32

①；再令x=

1

2

，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（

1

2

）=

1

2

，同理反复利用f（

x

5

）=

1

2

f（x）⇒f（

1

1250

）=

1

2

f（

1

250

）=

1

32

②；又0≤x₁＜x₂≤1时f（x₁）≤f（x₂），而

1

3125

＜

1

2008

＜

1

1250

从而可求得f（

1

2008

）的值．

解答：解：∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，令x=1得：f（1）=1，
又f（

x

5

）=

1

2

f（x），
∴当x=1时，f（

1

5

）=

1

2

f（1）=

1

2

；
令x=

1

5

，由f（

x

5

）=

1

2

f（x）得：
f（

1

25

）=

1

2

f（

1

5

）=

1

4

；
同理可求：f（

1

125

）=

1

2

f（

1

25

）=

1

8

；
f（

1

625

）=）=

1

2

f（

1

125

）=

1

16

；
f（

1

3125

）=

1

2

f（

1

625

）=

1

32

①
再令x=

1

2

，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（

1

2

）=

1

2

，
∴f（

1

2

）+f（1-

1

2

）=1，解得f（

1

2

）=

1

2

，
令x=

1

2

，同理反复利用f（

x

5

）=

1

2

f（x），
可得f（

1

10

）=）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

；
f（

1

50

）=

1

2

f（

1

10

）=

1

8

；
…
f（

1

1250

）=

1

2

f（

1

250

）=

1

32

②
由①②可得：，有f（

1

1250

）=f（

1

3125

）=

1

32

，
∵0≤x₁＜x₂≤1时f（x₁）≤f（x₂），而0＜

1

3125

＜

1

2008

＜

1

1250

＜1
所以有f（

1

2008

）≥f（

1

3125

）=

1

32

，
       f（

1

2008

）≤f（

1

1250

）=

1

32

；
故f(

1

2008

)=

1

32

．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，解题的关键两次赋值后都反复应用f（

x

5

）=

1

2

f（x），同时考查了计算能力，属于中档题．