题目内容

设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的图象关于直线x=
2
3
π对称，且它的最小正周期为π，则（　　）
分析：根据周期求出ω，根据函数图象关于直线x=
2π
3
对称求出φ，可得函数的解析式，根据函数的解析式判断各个选项是否正确
解答：解：由题意可得
2π
ω
=π，∴ω=2，可得f（x）=Asin（2x+φ）．
再由函数图象关于直线x=
2π
3
对称，故f（
2π
3
）=Asin（
4π
3
+φ）=±A，故可取φ=
π
6
．
故函数f（x）=Asin（2x+
π
6
）．
令2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
3π
2
，k∈z，求得 kπ+
π
6
≤x≤kπ+
2π
3
，k∈z，
故函数的减区间为[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]，k∈z，故选项A不正确．
由于A不确定，故选项B不正确． 令2x+
π
6
=kπ，k∈z，可得 x=
kπ
2
-
π
12
，k∈z，
故函数的对称中心为 （
kπ
2
-
π
12
，0），k∈z，故选项C正确．
由于A的值的符号不确定，故选项D不正确．
故选C
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．
练习册系列答案
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设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f（an+1）=
1f(-2-an)
（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
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1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(1+logf(1)x)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．
设函数f（x）=
3x-1
x+1
．
（1）已知s=-t+
1
2
（t＞1），求证：f（
t-1
t
）=
s+1
s
；
（2）证明：存在函数t=φ（s）=as+b（s＞0），满足f（
s+1
s
）=
t-1
t
；
（3）设x1=
11
17
，xn+1=f（xn），n=1，2，…．问：数列{
1
xn-1
}是否为等差数列？若是，求出数列{xn}中最大项的值；若不是，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f（an+1）=（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
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（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

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