题目内容
已知函数f（x）=lg（x+1），当点（a，b）在y=f（x）的图象上运动时，点(
，
)在y=g（x）的图象上运动．
（1）求函数g（x）的表达式．
（2）求函数h(x)=f(3x)-g(x-
)的最小值．
| a |
| 3 |
| b |
| 2 |
（1）求函数g（x）的表达式．
（2）求函数h(x)=f(3x)-g(x-
| 1 |
| 3 |
分析：（1）设x=
，y=
，则a=3x，b=2y，由点（a，b）在y=f（x）的图象上可得b=lg（a+1），代入x，y可求函数g（x）
（2）由h(x)=f(3x)-g(x-
)=lg(3x+1)-
lg3x=lg
=lg(
+
)，利用基本不等式可求函数的最小值．
| a |
| 3 |
| b |
| 2 |
（2）由h(x)=f(3x)-g(x-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3x+1 | ||
|
| 3x |
| 1 | ||
|
解答：解：（1）设x=
，y=
，则a=3x，b=2y
由点（a，b）在y=f（x）的图象上可得b=lg（a+1）
所以，2y=lg（3x+1）
所以，y=
lg(3x+1)
即g(x)=
lg(3x+1)
（2）因为h(x)=f(3x)-g(x-
)=lg(3x+1)-
lg3x=lg
=lg(
+
)≥lg2
当且仅当
=
即x=
时取等号
所以h（x）得最小值为lg2
| a |
| 3 |
| b |
| 2 |
由点（a，b）在y=f（x）的图象上可得b=lg（a+1）
所以，2y=lg（3x+1）
所以，y=
| 1 |
| 2 |
即g(x)=
| 1 |
| 2 |
（2）因为h(x)=f(3x)-g(x-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3x+1 | ||
|
| 3x |
| 1 | ||
|
当且仅当
| 3x |
| 1 | ||
|
| 1 |
| 3 |
所以h（x）得最小值为lg2
点评：本题主要考查了利用相关点法求函数得解析式，利用基本不等式求解函数的最小值，要注意基本不等式应用的条件．
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