Question

方程

x4

4

-

x3

3

+

x2

2

-x=0的实数解有

2

 个．

Answer 1

分析：易知x=0是此方程的一个实数根．当x≠0时，方程化为

x3

4

-

x2

3

+

x

2

-1=0．令f（x）=

x3

4

-

x2

3

+

x

2

-1，利用导数判断其单调性，再利用函数零点判定定理判定其零点的个数即可．

解答：解：x=0是此方程的一个实数根．
当x≠0时，方程化为

x3

4

-

x2

3

+

x

2

-1=0．
令f（x）=

x3

4

-

x2

3

+

x

2

-1，则f′(x)=

3

4

x2-

2

3

x+

1

2

=

3

4

(x-

4

9

)2+

19

54

＞0，
∴函数f（x）在R上单调递增．
而f（1）=

1

4

-

1

3

+

1

2

-1＜0，f（2）=2-

4

3

+1-1＞0，
∴f（1）f（2）＜0，∴函数f（x）在（1，2）上存在零点，也即在R上存在唯一一个零点．
综上可知：方程

x4

4

-

x3

3

+

x2

2

-x=0的实数解的个数是2．
故答案为2．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、函数零点的判定定理等是解题的关键．