Question

据测算：2011年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是1万件；如果搞促销活动，那么该产品销售量（亦即该产品的年产量）m万件与年促销费用x万元（x≥0）满足m=3-

k

x+1

（k为常数）．已知2011年生产该产品的前期投入需要8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（定价不考虑促销成本）．
（1）若2011年该产品的销售量不少于2万件，则该产品年促销费用最少是多少？
（2）试将2011年该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用x（万元）的函数，并求2011年的最大利润．

Answer 1

分析：（1）当x=0时，m=1，由m=3-

k

x+1

，可得k=2，所以m=3-

2

x+1

；
又m=3-

2

x+1

≥2，可得x≥1；即得该产品的年促销费用．
（2）每件产品的销售价格为1.5×

8+16m

m

（元），则2011年的利润y=m•[1.5×

8+16m

m

]-(8+16m+x)，求函数的最大值，即利润最大．

解答：解：（1）由题意可知，当x=0时，m=1（万件），即m=3-

k

x+1

，得k=2，所以m=3-

2

x+1

；
由题意，m=3-

2

x+1

≥2，解得x≥1；
所以，则该产品年促销费用最少是1万元．
（2）由题意，每件产品的销售价格为1.5×

8+16m

m

（元），
所以，2011年的利润函数：y=m•[1.5×

8+16m

m

]-(8+16m+x)
=4+8m-x=4+8×(3-

2

x+1

)-x=28-x-

16

x+1

；
因为x≥0，

16

x+1

+(x+1)≥8，
所以y=-[

16

x+1

+(x+1)]+29≤-8+29=21，
当且仅当

16

x+1

=x+1，即x=3（万元）时，利润最大为21万元．

点评：本题考查了利润函数模型的应用，也考查了应用基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）求函数最值问题，属于中档题．