Question

一盒中放有除颜色不同外，其余完全相同的黑球和白球，其中黑球2个，白球3个．
（Ⅰ）从盒中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率；
（Ⅱ）从盒中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两次摸出的球中黑球个数ξ的分布列及其期望．

Answer 1

分析：（1）从盒中同时摸出两个球则两球颜色恰好相同包括两个黑球或两个白球，共有C₂²+C₃²=4种可能，总事件数是从5个中选2个有10种结果，根据古典概型公式得到结果．
（2）有放回的摸球，可知ξ的取值有0，1，2，由题意知这是一个独立重复试验，随机变量ξ服从二项分布，根据公式得到分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）从盒中同时摸出两个球有C₅²=10种可能情况
摸出两球颜色恰好相同，即两个黑球或两个白球，
共有C₂²+C₃²=4种可能情况
故所求概率为P=

C 2 2 + C 2 3

C 2 5

=

4

10

=

2

5

．
（Ⅱ）由题可知ξ的取值有0，1，2．
且每次摸球时摸出黑球的概率均为

2

5

，
所以P(ξ=0)=(1-

2

5

)2=

9

25

；
P(ξ=1)=

C

1 2

(

2

5

)(1-

2

5

)=

12

25

；
P(ξ=2)=(

2

5

)2=

4

25

．
∴ξ的分布列为

因为ξ服从二项分布B(2，

2

5

)
∴Eξ=2×

2

5

=

4

5

．

点评：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识．这是近几年高考常考的问题．